EXPERIMENT 03 / RANDOMNESS & MONTE CARLO
随机与蒙特卡洛实验室
不用几何公式，只靠随机撒点也能算出 π。让样本一批批累积，观察估计值如何在波动中逐渐接近这个数学常数。
已完成样本0
π 估计值—
绝对误差—
1 个样本横轴为对数刻度 · 真实 π = 3.1415931,000 个样本
METHOD / 实验原理
为什么随机撒点能算出 π
蒙特卡洛方法用大量随机样本代替精确求解。这个实验只需要一次坐标比较， 就能把“求圆的面积”变成“数一数有多少点落在圆里”。
- 01
均匀撒点
在边长为 2 的正方形内生成随机点 (x, y)，横纵坐标都独立取自 [-1, 1] 上的均匀分布。
- 02
判断落点
如果 x² + y² ≤ 1，这个点就落在正方形的内切圆内；否则落在圆外的四个角落区域。
- 03
由比例还原面积
圆的面积是 π，正方形的面积是 4。点均匀分布时，圆内点的比例会趋近 π ÷ 4。
π ≈ 4 × 圆内点数 ÷ 总点数
样本很少时，估计值会大幅跳动；样本增加后，随机波动被平均掉，估计值逐渐稳定。 误差大致按样本数的平方根倒数缩小：样本放大 100 倍，误差通常只缩小到约十分之一。 这正是收敛曲线先剧烈起伏、随后缓慢贴近 π 的原因，也是蒙特卡洛方法的代价与优势所在。